Đường thẳng Euler

Trong môn hình học, đường thẳng Euler, được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler, là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong tam giác như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm.

Năm 1765, Euler đã chứng mình rằng trong tam giác, các điểm như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một đường thẳng, ngày nay chúng ta gọi là đường thẳng Euler. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các tam giác thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler. Tâm của đường tròn chín điểm nằm trên đường thẳng Euler ở trung điểm của trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, và khoảng cách từ trọng tâm đến tâm đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa khoảng cách từ trọng tâm đến trực tâm.

Các điểm nổi tiếng khác nằm trên đường thẳng Euler được biết đến trong tam giác bao gồm điểm De Long champs , điểm Schiffler, và điểm Exeter. Tuy nhiên tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp tam giác cân.

Đường thẳng Euler của có vài bổ đề của riêng nó, và cả đối bổ đề.

Cho là tên của ba đỉnh tam giác bất kỳ, và cho điểm bất kỳ có tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là:

Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số . Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là ) và trực tâm (với tọa độ là , bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau

ứng mới một giá trị t' nhất định.

Ví dụ:

• Trọng tâm =
• Tâm đường tròn chín điểm =
• Điểm de Longchamps =
• Điểm vô cực Euler =

Đường thẳng Euler đồng quy

• Cho tam giác với hai điểm Fermat and . Khi đó đường thẳng Euler tạo bởi 10 tam giác tạo bởi các đỉnh sẽ đồng quy tại trọng tâm tam giác .[1]
• Định lý Thebault IV: Cho tam giác với các đường cao . Các đường thẳng Euler của các tam giác sẽ đồng quy trên đường tròn Euler của tam giác tại một điểm thoả mãn moả một trong các khoảng cách bằng tổng 2 khoảng cách còn lại. Điểm đồng quy này được biết đến là Tâm Jerabek, kí hiệu , là tâm của Hyperbol Jerabek.
• Định lý Schiffler: Cho tam giác với tâm đường tròn nội tiếp bốn đường thẳng Euler của bốn tam giác và đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Schiffler (kí hiệu ) của tam giác .
• Điểm đánh số trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác là điểm đồng quy của 12 đường thẳng Euler, điểm này đặt tên theo Đào Thanh Oai gọi là điểm Đào 12 đường thẳng Euler đồng quy.[2][3][4]
• Cho tam giác không đều. Tập hợp các điểm thỏa mãn đường thẳng Euler các tam giác đồng quy là đường cong bậc ba Neuberg. Đặc biệt khi tam giác đều, tập hợp các điểm thỏa mãn tính chất này là toàn mặt phẳng.

Nguồn : Wikipedia